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多尺度分析

多尺度科學是一門研究不同長度尺度或時間尺度相互耦合現象的跨學科科學，是復雜系統的重要分支之一，具有豐富的科學內涵和研究價值。多尺度現象并存于生活的很多方面，它涵蓋了許多領域。如介觀、微觀和宏觀等多個物理、力學及其耦合領域，空間和時間上的多尺度現象是材料科學中材料變形和失效的固有現象。

多尺度分析方法是考慮空間和時間的跨尺度與跨層次特征，并將相關尺度耦合的新方法，是求解各種復雜的計算材料科學和工程問題的重要方法和技術。對于求解與尺度相關的各種不連續問題，復合材料和異構材料的性能模擬問題，以及需要考慮材料微觀或納觀物理特性，品格位錯等問題，多尺度方法相當有效。

復合材料是由兩種或者兩種以上具有不同物理、化學性質的材料，以微觀、介觀或宏觀等不同的結構尺度與層次，經過復雜的空間組合而形成的一個多相材料系統。復合材料作為一種新型材料，由于具有較高的比強度和比剛度、低密度、強耐腐蝕性、低蠕變、高溫下強度保持率高以及生物相容性好等一系列優點，越來越受到土木工程和航空航天工業等領域的重視。

復合材料是一種多相材料，其力學性能和失效機制不僅與宏觀性能（如邊界條件、載荷和約束等）有關，也與組分相的性能、增強相的形狀、分布以及增強相與基體之間的界面特性等細觀特征密切相關，為了優化復合材料和更好地開發利用復合材料，必須掌握其細觀結構對材料宏觀性能的影響，即應研究多尺度效應的影響。

如何建立起復合材料的有效性能和組分性能以及微觀結構組織參數之間的關系，一直是復合材料研究的重點，也是復合材料研究的核心目標之一。近年來，隨著細觀力學的發展和漸近均勻化理論的深化，人們逐漸認識并開始研究復合材料宏觀尺度和細觀尺度之間的聯系，并把二者結合起來。

纖維增強復合材料力學性能

目前，纖維增強復合材料的研究方法可分為宏觀力學和細觀力學方法兩種。復合材料宏觀力學方法是從唯象學的觀點出發，基于均勻化假設，將復合材料當做宏觀均勻介質，視增強相和基體為一體，不考慮組分相的相互影響，僅考慮復合材料的平均表現性能。宏觀力學方法中的應力、應變不是基體和增強相的真實應力、應變，而是在宏觀尺度上的某種平均值。

復合材料細觀力學的目的是建立復合材料宏觀性能同其組分材料性能及細觀結構之間的定量關系，是將微觀結構形態特征量與宏觀力學分析相綜合，來建立兩個不同尺度之間的聯系，細觀力學是介于宏觀力學與微觀力學之間的重要分支學科，對研究跨尺度效應的力學問題，既有重要的理論價值，也有重要的工程應用前景，是當前力學研究的國際前沿性問題。

纖維增強復合材料多尺度分析方法

纖維增強復合材料領域的多尺度分析方法主要為細觀力學方法，主要分為兩大類：分析法和細觀力學有限元法。

自治方法

自治方法是Hershey和Kroner在50年代先后提出的，主要用來研究多晶體材料的彈性性能。自治方法所使用的模型為無限大均勻介質中內含單一夾雜的模型。如圖1所示，認為夾雜單獨處于一有效介質中，而夾雜周圍有效介質的彈性常數恰好就是復合材料的彈性常數。求解基本思想是由均勻邊界條件下的自治模型求得夾雜相內的平均應變，從而求得有效彈性剛度張量。

圖1 自治模型

Mori-Tanaka方法

Mori-Tanaka方法是1973年Mori和Tanaka在研究彌散硬化材料的加工硬化時，提出的求解材料內部平均應力的背應力方法，是一種基于Eshelby等效夾雜原理的非均質材料的等效彈性模量的計算方法。

Mori-Tanaka方法建立了夾雜相平均應變同基體相平均應變間聯系的四階張量，并將這個依賴于夾雜濃度的四階張量用無限大的基體材料內單一夾雜的平均應變和均與應變間聯系張量來代替。

近年來，該方法成為預測非均勻復合材料性能的手段之一，但是該方法只適用于夾雜物都體分比較小的情況，模型示意圖如圖2所示。

圖2 等效夾雜模型示意圖

胞元模型

胞元模型，即宏觀-細觀統一的彈性本構模型，是Aboudi于1989年首次提出來，并與1991年把該模型推廣到通用單胞模型中，后來Aboudi等又把Bonder-Partom本構模型融入到MOC與GMC模型中，將其推廣到纖維增強復合材料的彈塑性分析中。

胞元模型是利用復合材料的周期性假設，將代表性體積單元劃分為若干個子胞，如圖3所示，假設子胞內任一點的位界條件（平均位移連續條件和應力連續條件），求解彈性力學的基本方程，獲得RVE的應力應變場，再利用均勻化理論獲得復合材料的宏觀應力-應變關系。分析思路如圖4所示。

圖3 單胞模型

圖4 通用單胞模型求解示意圖

均勻化理論

均勻化理論是20世紀70年代由法國科學家提出并應用到具有周期性結構的材料分析中。Babuska曾預言均勻化理論應用于復合材料研究的可能性，后來Duvaut首先將其應用于單向纖維復合材料，并將所得結果與Halpin-Tsai的結果進行了比較，發現吻合較好。

近年來該方法已成為分析夾雜、纖維增強復合材料、混凝土材料等效模量以及材料的細觀結構拓撲優化常用的手段之一。均勻化方法是目前國際上分析復合材料宏細觀力學性能較為流行的方法，現在我國的研究人員也致力于這方面的研究，并逐步運用到工程領域中。

均勻化方法是一種分析周期性微觀結構材料性能的具有嚴格數學依據的方法，是一種既能分析復合材料的宏觀特性，又能反映其細觀結構特性并建立起二者之間的聯系及相互作用的方法。它從構成材料的微觀結構的“胞元”出發，將胞元均勻化理論同時引入宏觀尺度和微觀尺度中，利用漸近分析方法，來有效建立宏觀和細觀之間的聯系。

細觀力學有限元法

細觀力學有限元法是通過劃分網格將結構離散化來計算應力-應變關系，先求出應力-應變場，再通過均勻化方法求出宏觀應力-應變關系，還可以根據細觀場量進一步研究復合材料的塑性屈服、損傷破壞等問題。

細觀力學的最大優點在于它能夠獲得細觀尺度下完整的應力、應變場來反映復合材料的宏觀相應特征，這樣能夠定量分析復合材料宏觀性能對細觀結構的依賴關系。細觀力學有限元法是處理具有小周期構造的復合材料問題的一個重要理論方法，近年來許多學者建立和發展了多尺度有限元算法。

纖維增強復合材料彈塑性分析

復合材料是一種多相材料，影響其彈性性能的因素可以分為兩大類：一類是復合材料每一組分材料的彈性常數；另一類是復合材料內部的微結構特征，它包括增強相的形狀、種類、幾何尺寸、在基體中的分布和增強相間的相互作用等。

為了揭示復合材料特征對其宏觀性能的影響，許多研究者從細觀角度出發，發展了較為系統的細觀力學方法，解決了一些理論和工程問題，特別是近年來出現的均勻化理論，已成為分析纖維增強復合材料多尺度問題最常用的方法。

崔俊芝等研究了擬周期結構在線彈性邊界條件下的均勻化方法，并給出了有限元基本計算量——位移、應力、應變和能量的估算。他們對具有小周期孔洞的復合材料彈性結構進行了研究，得到了位移函數一類可以計算的雙尺度漸近展開式。他們還分析了一類具有小周期系數的橢圓型邊值問題的雙尺度漸近方法，主要研究方法是將原始的計算問題轉換到定義在邊界層上的周期性問題的分析中，并采用了嚴謹的數學理論。他們還用雙尺度有限元分析方法給出了周期性復合材料格林函數一階均勻化解的逐點誤差估計以及高精度的近似解，并針對周期性復合材料的熱-力耦合問題給出了物理、力學參數和熱-力耦合解的雙尺度表達式，發展了相應的多尺度有限元算法。

孫志剛研究了復合材料宏-細觀統一本構模型及一體化分析方法，將復合材料細觀場量與宏觀場量聯系起來。針對線性細觀位移模式的通用單胞模型無細觀正應力和剪應力之間耦合問題，推導了采用二階細觀位移模式的高精度通用單胞模型，并對基于高階理論的通用單胞模型進行了深入研究，針對高精度通用單胞模型計算效率低的缺點，采取了以界面平均量代替細胞位移函數的系數，并按弱化的邊界條件，提出了改進的二維高精度通用單胞模型。

范建華等以三維有限元為數值分析手段，通過在復合材料細觀模型的邊界上施加多組特定形式的均勻邊界條件，提出了一種通用的計算復合材料剛度的有限元方法，該方法可以一次性求解出復合材料所有的剛度系數。

近年來，運用細觀力學均勻化方法對復合材料有效性能的研究逐漸興起，但還多限于對復合材料彈性性能的研究，然而材料的破壞過程往往與材料的非線性特征相聯系，因此用多尺度方法對非線性問題進行研究就顯得更為重要。

多尺度方法能夠加速建模過程，減少計算工作量，主要思想是以全局均勻材料來等效原來的非均質材料，且能滿足兩體系的應變能完全或近似相同，對復合材料塑性研究也頗為有效。

李華祥等從反映復合材料細觀力學的胞元入手，綜合塑性極限分析中的機動法，將周期性復合材料的解轉化為求解一組帶等式約束的非線性數學規劃問題；建立了計算極限載荷因子的一般數學規劃格式，并采用一種無搜索直接迭代計算法，研究了韌性復合材料的塑性極限承載能力。該方法建立在位移模式有限元基礎上，有較廣的適用范圍，為復合材料的強度分析提供了一個有效手段。

他還將細觀力學中的均勻化方法引入到塑性極限分析的機動方法中，對組合材料采用非線性von Mises屈服準則。建立了復合材料塑性極限分析的有限元分析格式，最終將問題歸結為求解一個帶等式約束的非線性數學規劃格式，并采用一種無搜索直接迭代算法進行求解，為復合材料強度分析提供了一個有效手段。

苑學眾等建立了整體材料的漸近分析理論。利用漸近級數并引用宏觀和細觀兩個尺度闡述了復合材料的彈塑性性能與組分性能及細觀結構的關系；用ANSYS有限元軟件對玻璃纖維/環氧樹脂和硼/鋁復合材料的彈塑性有效性能進行了計算，并與試驗結構進行了比較。

劉濤等將均勻化方法和漸近分析與參變量變分原來相結合提出了一種模擬復合材料非線性性能的多尺度樹脂方法。利用漸近分析建立了宏-細觀變量之間的聯系，用參變量變分原理計算非線性響應，求解過程采用迭代算法。為了提高計算精度，針對von-Mises準則和Tsai-Hill準則，提出了一個基于參變量變分原理的改進算法，算例表明該方法可以顯著消除傳統方法采用線性展開式構造線性互補條件所帶來的誤差。

作為一種解決復合材料細觀力學性能的有效方法，多尺度分析方法引起了國內外學者的廣泛關注。近年來，多尺度分析方法用于纖維增強復合材料領域的研究在逐步增多，已經取得了一定價值的研究成果；其研究范圍也在逐漸擴大，隨著細觀力學和數學理論的深化，多尺度分析方法必將有更大的發展空間。