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一、引言

復合材料層合板及夾層板因其高剛度、輕量化、抗疲勞等優異性能，廣泛應用于航空航天、汽車及土木工程領域。然而，傳統的三維彈性模型計算成本高昂，而二維簡化模型（如經典層合板理論、一階剪切變形理論）難以準確捕捉層間剪切應力的連續分布，且依賴剪切修正因子（Shear Correction Factor，SCF），限制了其適用性。現有高階剪切變形理論（Higher-order Shear Deformation Theory，HSDT）通過多項式、三角函數、指數函數等描述剪切應力分布，但仍存在計算復雜、層間應力不連續等問題。此外，多數等效單層模型（Equivalent Single Layer，ESL）忽略了厚度方向拉伸效應，導致與三維彈性解的偏差。

近日，Composite Structures 期刊發表了一篇基于切比雪夫多項式的高階剪切變形模型有關的研究成果，用于層合型復合材料及夾層板的靜態分析，有效克服了傳統模型在剪切應力連續性和計算效率上的局限性。論文標題為“A Chebyshev shear deformation model for laminated composite plates”。

二、研究內容與結果

基于高階剪切變形理論，位移場由切比雪夫多項式定義，滿足板上下表面剪切應力為零的邊界條件。第三階（p=3）和第五階（p=5）模型通過調整多項式階數實現靈活性，無需額外修正。

該研究采用NURBS基函數離散位移場，利用其高階連續性直接計算應力導數。通過虛功原理推導弱形式方程，結合17×17網格的三次NURBS單元，高效處理復雜幾何與邊界條件。

圖1 層合復合材料板的幾何形狀

圖 2 各種函數的 f(z) 和

針對三層層合板（00/900/00]）和四層層合板（00/900/900/00），對比3D彈性解、三角函數剪切變形理論（Trigonometric Shear Deformation Theory，TSDT）及指數函數模型（Exponential Shear Deformation Theory，ESDT）。結果表明，第五階切比雪夫模型（p=5）的位移誤差小于2%，剪切應力通過平衡方程積分實現連續分布。

對[00/core/00]夾層板進行多厚徑比（a/h=4-100）分析。平衡方程積分法計算的剪切應力更接近三維解，且無層間跳躍。與現有模型（如指數函數模型和三角函數剪切變形理論）相比，該模型在面板剛度變化（fact=5-15）下仍保持高精度。

圖3 層板沿厚度的應力分布（a/h = 4，p = 5）

三、小結

該研究提出的切比雪夫剪切變形模型通過多項式階數調整簡化了計算流程，結合等幾何分析和平衡方程積分，顯著提升了層合板及夾層板的靜態分析精度。第五階模型（p=5）在位移和應力預測中表現最優，且無需依賴剪切修正因子。未來可擴展至包含“Zig-Zag”位移模式的多層結構分析，為復合材料力學研究提供了高效工具。

原始文獻：

Thai, C. H., Hung, P. T., Rabczuk, T., Nguyen-Xuan, H., & Phung-Van, P. (2025). A Chebyshev shear deformation model for laminated composite plates. *Composite Structures, 360*, 119045.

原文鏈接：

 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2025.119045