國際標準ISO 6892-1：2019的附錄G（規范性附錄）規定了使用單軸拉伸試驗測定金屬材料彈性模量的方法。該附錄也給出了彈性模量測量不確定度評定的兩種方法，即分別按照CWA 15261-2和附錄K的方法[其中CWA 15261-2為歐盟的研討會協議（CEW Workshop Agreenent），目前正在轉化為國際技術報告]，但這兩種方法評定結果相差較大，來自鋼研納克檢測技術股份有限公司和鋼鐵研究總院分析測試研究所的高怡斐、梁新幫兩位研究人員對其進行了分析與討論。

 

1測量不確定度表示與評定

 

1.1合成標準不確定度的兩類分量

 

合成標準不確定度uc包含兩類分量，即通過統計方法評定得到的A分量uc,A和通過統計方法以外的其他分析方法評定得到的B分量uc,B。合成標準不確定度定義為：合成方差的正平方根。對于用附錄G的方法測定的彈性模量E，其合成標準不確定度uc(E)表示為

 

 

式中：uc,A(E)為合成標準不確定度uc(E)的A分量；uc,B(E)為合成標準不確定度uc(E)的B分量。

 

對于彈性模量E的合成標準不確定度，其A分量評定的信息來源于最小二乘法線性回歸統計，其B分量評定的信息來源于測量設備和儀器的準確度級別，以及試驗方法標準規定的相關測量誤差要求等。

 

1.2彈性模量合成不確定度A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

彈性模量的合成標準不確定度其A分量評定根據最小二乘法線性回歸統計獲得?；貧w模式不同，統計評定方式有所不同，對于彈性模量來說，回歸模式可以采用線性應力-應變模式，或者線性力-延伸模式。

 

1.2.1 線性應力-應變模式A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

ISO 6892-1：2019附錄G給定了線性應力-應變回歸模式：

 

 

式中：R為應力；e為應變；E為直線斜率（彈性模量)；b為截距。

 

按照式（2）給定的回歸模式，需要獲取數據對{(ei,Ri),i=1,2,3,…,n}（ei和Ri分別為應變和應力）。但拉伸試驗中不能夠直接測量應變和應力這兩個量值，而直接能測量的量是延伸Δ和力F。這就需要將直接測得的數據對（Δi,Fi）的延伸值Δi和力值Fi分別除以引伸計標距Le和試樣原始橫截面積S0變換為數據對（ei,Ri）。為此，拉伸試驗時，要在彈性范圍內同時刻測量延伸Δi和力Fi并轉換成數據對（ei,Ri），然后采用最小二乘法線性回歸，得到式（2）表示的回歸直線，直線的斜率E即為彈性模量，按照下式計算：

 

 

式中：n為數據對（測點）的數目。

 

為了評定彈性模量的合成不確定度A分量，需要獲知回歸的標準偏差s，按照下式計算：

 

 

彈性模量的合成不確定度A分量按照下式計算：

 

 

彈性模量的合成相對不確定度A分量按照下式計算：

 

 

1.2.2 線性力-延伸模式A分量uc,A(E)和uc,A,rel(E)的表示

 

對于線性力-延伸回歸模式，線性方程模式為

 

 

式中：F為力；Δ為延伸；k為直線斜率；c為截距。

 

式（10）中直線斜率k按照下式計算：

 

 

為了評定彈性模量的合成不確定度A分量，需要獲知回歸的標準偏差′s，按照下式計算：

 

 

回歸的F~Δ直線斜率k的標準偏差和相對標準偏差分別按照下式計算：

 

 

由于標準不確定度等于標準偏差，因此式（16）和式（17）實質分別為斜率k的合成標準不確定度和合成相對標準不確定度的A分量，這樣就可按照下式計算：

 

 

利用附錄A導出的關系，可以得到彈性模量合成標準不確定度和合成相對標準標準不確定度的A分量：

 

 

 

1.3彈性模量的合成標準不確定度B分量的表示

 

彈性模量的合成標準不確定度B分量評定的信息源于測量設備和儀器的準確度級別，以及試驗方法標準規定的相關測量誤差要求等，高怡斐、梁新幫兩位研究人員通過以下這些信息和分析進行評定。

 

當輸入量和輸出量通過函數f相聯系時，即

 

 

而且當輸入量xi之間相互獨立時，輸出量y的合成標準不確定度表示為

 

 

彈性模量定義為彈性應力-應變直線的斜率，表示為

 

 

根據式（23）和式（24），彈性模量的合成標準不確定度B分量uc,B可以表示為

 

 

將式（25）兩邊除以E便得到合成相對不確定度B分量，表示為

 

 

1.4彈性模量的合成標準不確定度和合成相對標準不確定度表示

 

1.4.1 彈性模量的合成標準不確定度

 

將式（9）和式（25）代入式（1）便得到合成不確定度uc(E)

 

 

式中：uc,A,rel(E)為彈性模量的合成相對標準不確定度的A分量，urel(F)為由測力系統（傳感器）誤差引起的相對標準不確定度分項；urel(Δ)為由測延伸系統（引伸計）誤差引起的相對標準不確定度分項；urel(Le)為由引伸計標距誤差引起的相對標準不確定度分項；urel(S0)為由原始橫截面積測量誤差引起的相對標準不確定度分項。

 

當回歸的是力-延伸（F-Δ）直線，這時A分量見式（21）。

 

1.4.2 彈性模量的合成相對標準不確定度

 

將式（27）兩邊除以彈性模量E即得到合成相對標準不確定度，表達式：

 

 

1.5擴展不確定度表示

 

擴展不確定度一般表示為

 

 

式中：Up為給定概率p的擴展不確定度；kp為給定概率的包含因子；uc為合成標準不確定度。

 

概率p一般采用99%和95%。多數采用95%，包含因子k95取值為2，于是擴展不確定度為

 

 

如果合成標準不確定度為合成相對標準不確定度uc,rel，式（29）表示為

 

 

報告擴展不確定度時要注明包含因子k=2。

 

2彈性模量不確定度評定舉例

 

2.1彈性模量的合成相對標準不確定度的A分量uc,A,rel(E)評定

 

2.1.1 數據來源

 

以下計算的數據取自文獻中的附錄G。引伸計標距Le為50mm，原始橫截面積S0為78.5mm2，力-延伸曲線斜率（線彈直線段）k為293.07kN·mm-1，力-延伸曲線斜率（線彈直線段）的標準不確定度A分量為uc,A(k)為0.064kN·mm-1，彈性模量E為186.7GPa。

 

2.1.2  A分量uc,A,rel(E)的計算

 

按照式（21）計算uc,A,rel(E)=uc,A(k)/k=0.064/293.7=0.02%。

 

2.2彈性模量的合成相對標準不確定度B分量的相關分項計算

 

2.2.1測力誤差引起的相對標準不確定度分項urel(F)

 

文獻中的附錄G規定：拉伸試驗機的測力系統應符合國際標準ISO 7500-1的1級，該級允許誤差為±1.0%。這一誤差是不確定度來源之一，為了將此誤差量化轉換成標準偏差（即標準不確定度），需要知道F取值的分布和包含因子k， 如果不知道，一般把其近似為均勻分布（矩形分布），包含因子

 

 

由這誤差引起的標準不確定度量化為，量F分散區間半寬度a除以包含因子k，即urel(F)=

 

 

2.2.2 測延伸誤差引起的相對標準不確定度分項urel(Δ)

 

文獻中的附錄G規定：引伸計系統應符合國際標準ISO 9513：1999的0.5級，該級允許誤差為±0.5%或±1.5μm。因為在測定金屬材料彈性模量試驗中，測量的延伸量很小，必須采用絕對誤差值±1.5μm。按照文獻中的附錄G確定相對誤差的方法是：應力增量ΔR=200MPa，彈性模量E=200GPa，引伸計標距Le=50mm，產生延伸Δ=0.05mm=50μm。那么，按照前述的允許絕對誤差±1.5μm折合成相對誤差為±3%。量Δ取值分布近似視為均勻分布，取

 

 

引起的相對標準不確定度

 

 

2.2.3 引伸計標距誤差引起的相對標準不確定度分項urel(Le)

 

文獻中的附錄G規定：引伸計系統應符合國際標準ISO 9513：1999的0.5級，對于這一級別，引伸計標距允許誤差為±0.5%。Le取值分布近似視為均勻分布，

 

 

引起的相對標準不確定度

 

 

2.2.4 試樣橫截面積誤差引起的相對標準不確定度分項urel(S0)

 

試樣原始橫截面積S0不是直接測量得到，對于圓形橫截面試樣，試驗前測量其橫截面直徑d，原始橫截面積測量不確定度應為

 

 

根據文獻中的附錄G的G.3.1.4款規定測量試樣尺寸的裝置其測量準確度應優于±0.5%，該誤差引起尺寸測量的相對不確定度為urel(d)=a/k，將其代入式（32）并且表示為絕對不確定度，則

 

 

值得注意的是，文獻中的附錄G中，表G.1和式（G.5）對應于這分項不確定度，沒有除以根號3，這是錯誤的。

 

2.3彈性模量的合成相對標準不確定度uc,rel(E)

 

將上述數據代入式（28）計算彈性模量的合成相對標準不確定度uc,rel(E)=

 

 

2.4彈性模量的合成 （絕對）標準不確定度uc(E)

 

彈性模量的合成（絕對）不確定度可以首先按照式（28）計算得其相對值，然后用E乘以該值得到，即

 

 

 

2.5彈性模量的擴展不確定度U95,rel

 

將uc,rel(E)的值代入式（31）得到U95,rel=2×1.9%=3.8%（k=2）。

 

2.6測量結果報告

 

當給出完整的彈性模量測量結果時，一般應給出彈性模量的測量不確定度，有多種表達形式。文獻中的附錄G采用給出真實值所在區間的形式，不確定度的單位與測量值相同，有效數字一般取不多于兩位。因此，上述結果報告為E=（186.7±7.1）GPa（k=2）。

 

3討論

 

3.1用文獻中附錄G的式（G.4）評定彈性模量不確定度偏小的原因

 

文獻中給出了彈性模量合成不確定度評定的兩種方法，即按照附錄K的方法和文獻中給定的方法，為了簡便，前者稱為方法A；后者稱為方法B。

 

3.1.1 與方法A比較

 

彈性模量的合成相對標準不確定度uc,rel(E)=1.9%，這與用文獻中附錄G的式（G.7）得到的結果相同。

 

彈性模量的擴展不確定度U95,rel=3.8%（k=2），這與附錄G的式（G.8）給出的結果相同。

 

3.1.2 與方法B比較

 

文獻中附錄G的式（G.4）給出彈性模量合成標準不確定度計算公式為

 

 

將數據代入式（33）計算得到uc(E)=1.2GPa。

 

將其表示為相對標準不確定度，即uc,rel(E)=1.2/E=0.64%，這與之前計算的1.9%的結果相差較大。

 

其擴展不確定度U95=2.4GPa，和U95,rel=1.3%。分別與之前的3.55GPa和3.8%相比，相差也較大。

 

上述的計算結果比較表明，方法B得到的結果明顯偏小，其原因在于方法B給定的式（33）遺漏了影響較大的兩項不確定度分項，分析如下。將彈性模量定義式[即式（24）]表示為

 

 

式中：k=F/Δ。

 

這樣函數關系就可表示為

 

 

根據式（34），寫出合成方差為

 

 

式（36）右邊第1項的u2(k)是斜率k的方差，其由A分量和B分量合成，表示為

 

 

將式（37）代入式（36）并取等式兩邊的正平方根，得到彈性模量的合成不確定度，表示為

 

 

現在將式（38）和式（33）進行比較，可知后者式右邊根號內缺少了方差u2(F)和方差u2(Δ)這兩主要項，致使力和伸長測量誤差引起的不確定度被缺失，所以其合成不確定度評定值顯著偏低。

 

利用式（24）可以將式（38）簡化為

 

 

為了表示成相對不確定度形式，將式（39）兩邊除以彈性模量E，并利用式（21）把根號內第1項做替換得到：

 

 

可見式（40）即為式（28）。

 

3.2對延伸相對誤差確定方法的建議

 

引伸計準確度級的選定，也就給定了允許的相對誤差值δ，但是延伸測量范圍Δ如何確定，這就要考慮彈性模量、引伸計標距、評定彈性模量的應力上限等因素。因此，建議相對誤差延伸測量范圍按下式計算

 

 

式中：ε為相對誤差；δ為引伸計準確度級允許的絕對誤差；Δ延伸測量范圍；ReH為上屈服強度。

 

式（41）中的0.4ReH應力上限取文獻中的附錄G中規定的經驗值。例如，引伸計符合ISO 9513：1999規定的0.5級，δ=±1.5μm，標距Le=50mm，上屈服強度ReH=500MPa，測定的彈性模量E=186.7GPa，那么計算得到的相對誤差ε=±2.8%。

 

4結論

 

(1) 給出了（拉伸試驗測定）的彈性模量合成標準不確定度的一般性表示式和實例評定結果，采用文獻中的附錄G的式（G.4）評定彈性模量的合成不確定度，其值顯著偏小，原因在于公式中缺失了兩個主要分項，即缺失測力設備準確度級所允許的誤差而引起的不確定度分項和延伸測量儀器準確度級所允許的誤差而引起的不確定度分項。

 

(2) 建議補充測力設備準確級所允許的誤差而引起的不確定度分項和延伸測量儀器準確度級所允許的誤差而引起的不確定度分項，國際標準ISO 6892-1：2019的附錄G的式（G.4）修改為

 

 

(3) 按照文獻中附錄K的原則評定是正確的，建議增加合成相對標準不確定度表示式，即