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嘉峪檢測網 2021-06-26 20:36
一、引言
在產品的壽命分析及預計研究中，需要用到各種壽命分布函數，主要包括：正態分布函數、對數正態分布函數、指數分布函數、威布爾分布函數等。其中，指數分布是用來描述電子產品在隨機失效階段的可靠性函數，在可靠性領域中研究甚為廣泛。然而，由于產品自身的復雜性、產品所處階段的不確定性等因素，我們在處理產品試驗數據、現場使用數據、產品售后數據時，并不能完全確定產品所處的浴盆曲線階段，與此同時，很多產品由電子件及機械執行件構成，僅僅利用指數分布進行數據耦合是遠遠不夠的?；诖?，威布爾分布在產品的壽命分析中可以起到重要的作用，威布爾分布中的形狀參數取值不同，可以產生不同的函數形態，函數形態可以對應不同的產品失效階段；威布爾分布中的尺度參數可以在確定函數形態后對函數進行拉伸，可以對應產品的失效速率進行耦合描述；威布爾分布的位置參數，又可以將函數的初始位置進行平移，可以對應描述某些產品通過一段“貨架期”后進入壽命階段的特性。
本文將細致介紹威布爾分布函數對應的失效密度函數f(t)、失效函數F(t)、失效函數；威布爾分布函數的形狀參數、尺度參數和位置參數的含義，參數的變化可以形成不同的失效函數形態產生不同的函數類型；威布爾分布函數的三個參數如何通過雙對數方式及線性回歸方式進行求解，從而估計產品的各種壽命，為產品制定保修期、售后等提供依據。
二、威布爾分布的失效密度函數、不可靠度函數、失效函數及各參數含義
1、威布爾分布的相關函數形式
2、威布爾分布各參數含義
自變量t含義：在不同的場合中可以有不同的意義，比如時間、距離、（試驗）循環或機械應力等等。
形狀參數β含義：形狀參數是瞬時失效率隨時間的變化率。例如：早期失效、隨機失效、耗損失效。形狀參數決定了該分布是威布爾分布族中的哪一種。形狀參數不同的威布爾分布密度函數的形狀是截然不同的。這就使得威布爾分布與其他分布模型相比，能夠擬合很多的壽命數據。形狀參數起決定性作用，決定函數形狀即產品所處的失效階段，在不同的參考文獻中記錄為不同的字母，讀者只要記住在威布爾分布的各函數中，冪指數位置的參數為形狀參數即可。因為冪指數在整個函數中級別最高，驅動效應最強，此位置的參數為最為重要的形狀參數。
尺度參數η含義：尺度參數變化影響失效率增長速度，η越小，增長速度越快。尺度參數起到拉伸整個函數的作用，對于產品失效而言體現為失效速率的快慢問題。
位置參數t0含義：利用位置參數，失效時間平移了一段固定時間（t0），這個固定時間稱作“門限”。當產品先度過一段“貨架期”才可能發生首次失效時，通常這段時間可以作為位置參數。如果威布爾概率圖有凹凸形狀則提示需要加入位置參數。很多時候產品出貨后即應用，進入壽命期，此時t0=0，這時威布爾分布即變換成為兩參數分布。位置參數會改變失效率函數的左右位置（即起始位置的改變），不會引起函數曲線形狀和大小的變化。
下面通過數形結合的方式更直觀的描述各參數在壽命分布中的意義：
圖1：尺度參數η=1，位置參數t0=0時威布爾分布族的失效密度函數形狀
從圖1中可以看出，當形狀參數β=3.44時，威布爾分布的概率密度函數（PDF）看起來很像正態分布，實際上它除尾部外都與正態分布十分相似；當形狀參數β<1時(圖上為0.5)，失效密度函數沒有峰值，直線t=t0是它的一條豎直漸近線；當形狀參數β>1時, 失效密度函數先增后減。
圖2：威布爾分布失效密度函數圖形（尺度參數、位置參數對時效密度函數作用）
從圖2左邊第一張圖中可以看出，當形狀參數一定，位置參數為0時，尺度參數的作用是拉伸失效密度函數，尺度參數越大，失效函數上升越慢，下降也越慢；從圖2第二張圖可以看出，位置參數的作用相當于將失效密度函數右移動，實際的意義為：早期（即右移的一段）產品不失效。
圖3：威布爾分布可靠度與不可靠度函數圖形（形狀參數、尺寸參數、位置參數比較）
從圖3的6張圖中，顯而易見的看出，形狀參數越大，可靠度起始水平高，但可靠度隨時間下降快（即形狀參數越大，不可靠度（失效）起始水平低，但可靠度隨時間上升快）；尺度參數越大，可靠度下降越緩慢（即尺度參數越大，不可靠度（失效）上升越緩慢）；位置參數的加入，使得產品存在一個無失效時間（即產品過了位置參數時間后才開始失效，前面時間全部完好）
圖4：威布爾分布失效率函數圖形
從圖4的3張圖中，可以看出，形狀參數，決定了失效率的上升、下降或恒定；尺度參數決定了失效率的快慢；位置參數決定了起始失效位置。
對于形狀參數對失效率的影響作如下總結：
當β=1，威布爾分布就是指數分布；
當β>1，威布爾分布的瞬時失效率隨時間遞增；
當β<1，威布爾分布的瞬時失效率隨時間遞減。
3、威布爾分布小結
通過上面的分析，我們認識到威布爾分布的變換形式是多樣的，通過不同的參數變換可以變換成不同形式的分布模型，例如：指數分布、正態分布等。與此同時，對于產品的早期失效、隨機失效、耗損失效都可以進行描述。
基于此種特性，我們需要進一步研究，如何通過一系列的產品數據，求解出威布爾分布的各參數，從而進一步推算產品的各種壽命指標。
三、威布爾分布評估產品壽命指標分析
1、整體思路
通過威布爾分布分析產品壽命的整體思路是，利用上面分析的不可靠度函數。
通過產品的故障統計，利用線性回歸的方式將產品的每個故障時間t、計算出的每個故障的不可靠度F(t)組成回歸方程，將形狀參數、尺度參數及位置參數求解出。從而就可以利用不可靠的函數，計算產品的各種壽命指標。
2、壽命指標
常用的壽命指標有B10、B20、中位壽命（B50）、MTBF(MTTF)等。用戶可以根據自己的需求制定符合自己企業需求的壽命指標。
B10:作為考察的一批產品從投入使用至10%的產品損壞所經歷的時間。利用上述F(t)=0.1,反解出時間t即可。同理可知道B20及中位壽命即B50含義及具體求法。
MTBF(MTTF):平均無故障間隔時間。從威布爾分布失效函數的角度解釋為，當產品工作時間t達到特征壽命η時，這時的產品失效率為63.2%，MTBF(MTTF)就是特征壽命η。MTBF(MTTF)為經常使用的壽命指標，是否合適此處不討論，讀者可以根據需要選擇。
讀者可以根據自己的產品需要，選擇其它的壽命指標。
3、數據來源
威布爾分布耦合的壽命數據可以從多方面獲得，（1）通過可靠性試驗，統計產品數量、試驗時間、故障數；（2）現場使用數據，統計使用時間、故障數、產品數量；（3）售后數據，統計返修時間、故障數、故障產品數量。
威布爾分布的數據處理可以滲入到產品的各個階段，應用廣泛、實用性極高。
4、本文實例數據來源
本次實例數據來源于某廠家生產的汽車顯示屏產品，隨機抽取201件研究其使用可靠性。通過顯示屏的返回車廠維修數據進行統計，統計數據見表1。（篇幅考慮，截圖部分數據示例）
5、中位秩法計算不可靠度F（t）
中位秩計算F(t)，此處簡單介紹計算方法，需要詳細了解例如：刪失數據、擱置數據、調整秩的讀者可參考IEC61649標準或相關資料。
6、不可靠度F（t）的雙對數表示方法
為了線性回歸的需要，需要將F(t)變形為Y=AX+B的形式，此處的方法為取兩次對數，這樣就可以將指數部分放下，便于后續數據處理。變形方式很多，筆者采用相對簡便的一種進行變換。
7、利用最小二乘法求解線性回歸方程中的A和B
利用上面的雙對數式，中位秩算法，可以連列出表1的矩陣方程組，利用最小二乘法可以方便計算出A,B的值。此處只列出A，B算法，不對最小二乘法做探討，有興趣讀者可參考其它資料。
8、本案例求解
本案例中，產品個數一共為201(即n=201),表1中已列明，時間t以天為單位，失效序列也列明，可以方便求出對應的不可靠度，由于產品出貨即應用，沒有“無失效的貨架期”，故此例中位置參數。下面筆者通過上述方法，用電子表格的方式對形狀參數β、尺度參數η進行求解,詳見表2。（篇幅考慮，截圖部分數據示例）
9、產品壽命指標估計
根據上述求解出來的形狀參數（β=1.98687816）和尺度參數（η=756.5491009），不可靠度函數可寫成：
產品工作到756天左右，即特征壽命時，約有63.2%會產生故障，此產品的使用MTBF(MTTF)約為756天；B10壽命，F(t)=0.1,反解出t，可方便求出B10約為242天；同理可計算出，B20約為354天，B50約為628天等等。
四、結束語
對威布爾分布的研究目的是為了評估產品各種壽命指標，用戶可以根據自己產品的試驗數據、現場使用數據、返修數據等歸納自己產品的故障類型，不同故障的時間序列，利用威布爾分布對其進行耦合，從而科學的得到在現有水平下，某類產品的故障產生概率大小，及早制定維修、保障計劃，節約公司成本，同時對于反映出的重點問題，可以進行識別從而加以改進。利用這種數據處理手段同樣可以將試驗及現場數據進行分析，得到更好更符合實際的試驗方案。
對于本文討論的威布爾分布壽命分析，通過工程化的實用算法為產品解決數據評估問題，但其中并未涉及置信區間的討論，因為威布爾分布的置信區間討論的方法很多（例如極大似然估計、矩估計等等），也比較復雜，本文出于方便工程實踐角度，不予討論。但這并不影響對此數據的采納與使用，例如上述的壽命指標可以人為規定一個5%-10%的波動區間，這也是符合實際需要的。
來源：可靠性的邊界
